تابع: ماشینِ ورودی-خروجی

در این فصل چه یاد می‌گیری#

در ترم ۳ معادله حل کردی و هر بار یک عدد گرفتی. حالا یک قدم عقب بایست و به کلِ ماجرا نگاه کن.

عبارتِ $2x+5$ را از فصل ۱ ترم ۳ به‌یاد بیاور: یک دستورِ محاسبه که منتظرِ ورودی است. اگر ۳ بدهی ۱۱ می‌گیری، اگر ۰ بدهی ۵. آن رابطهٔ بینِ ورودی و خروجی، خودش یک شیء ریاضی است — و آن‌قدر مهم است که اسمی مخصوصِ خودش دارد: تابع.

این ترم دربارهٔ همان است، و مهم‌ترین دستاوردش این است که ریاضی از چیزی که حساب می‌کنی به چیزی که می‌بینی تبدیل می‌شود.

آخر این فصل می‌توانی:

• بگویی چه چیزی تابع است و چه چیزی نیست
• نمادِ $f(x)$ را بخوانی و به‌کار ببری
• دامنه و برد را برای یک تابعِ ساده تعیین کنی

قبل از شروع#

• از ترم ۳ فصل ۱: عبارتِ جبری به‌عنوان دستورِ محاسبهٔ منتظرِ ورودی؛ جای‌گذاری.
• از ترم ۳ فصل ۸: خواندنِ فرمول — کدام کمیت بر حسبِ کدام‌ها.
• از ترم ۲ فصل ۸: نرخ، و «به‌ازای هر یک».

۱. یک ماشین، یک قانون#

فکر کن به یک ماشینِ ساده: عددی می‌دهی، عددی می‌گیرد. داخلش یک قانون هست که همیشه همان است.

قانونِ «دو برابر کن و ۵ تا اضافه کن»:

🤔 اول حدس بزن: اگر همان ورودی را دو بار بدهی، دو خروجیِ متفاوت ممکن است بگیری؟

نه — و همین یک شرط، تعریفِ تابع است:

تابع رابطه‌ای است که به هر ورودی، دقیقاً یک خروجی می‌دهد.

نه صفر تا، نه دو تا. یکی.

۲. چه چیزی تابع نیست#

این شرط جدی‌تر از آن است که به‌نظر می‌رسد. سه مثال:

تابع است: «هر شخص → تاریخِ تولدش». هر کسی یک تاریخِ تولد دارد، دقیقاً یکی.

تابع نیست: «هر شخص → فرزندانش». یک نفر ممکن است هیچ فرزندی نداشته باشد یا سه تا.

تابع است: «هر عدد → مربعش». ۳ می‌رود به ۹، $-3$ هم می‌رود به ۹.

⚠️ دامِ رایج: فکرکردن به اینکه چون ۳ و $-3$ هر دو به ۹ می‌روند، پس آن یکی تابع نیست. شرط دربارهٔ ورودی است، نه خروجی: هر ورودی یک خروجی. دو ورودیِ متفاوت می‌توانند خروجیِ یکسان بدهند و هیچ مشکلی ندارد. معیارِ درست: از هر ورودی فقط یک فلش بیرون بیاید.

✅ چک کن: «هر عدد → ریشهٔ دومش» تابع است؟ — بستگی دارد چه تعریفی بگذاری. اگر بگویی $\sqrt{9}$ هم ۳ است هم $-3$، تابع نیست. برای همین ریاضی قرارداد کرد که  ​ فقط ریشهٔ مثبت را بدهد — دقیقاً همان تمایزی که در ترم ۳ فصل ۷ دیدی. آن قرارداد اختیاری نبود؛ برای تابع‌شدن لازم بود.

۳. نمادِ $f(x)$#

نوشتنِ «قانونِ دو برابر کن و ۵ اضافه کن» هر بار طولانی است. پس اسم می‌گذاریم:

f نامِ ماشین است و x نامِ ورودی. حالا می‌توانی به‌جای یک جمله بنویسی:

⚠️ دامِ رایج: خواندنِ $f(x)$ به‌عنوان «f ضرب در x». این تنها جایی در کلِ ریاضی است که پرانتزِ کنارِ یک حرف ضرب نیست. $f(3)$ یعنی «خروجیِ ماشینِ f وقتی ۳ بدهی»، نه «f ضربدر ۳». از روی نامِ حرف تشخیصش بده: f، g، h معمولاً نامِ تابع‌اند.

💡 نکته: همان تابع را می‌توانی $f(t)=2t+5$ هم بنویسی. نامِ ورودی هیچ اهمیتی ندارد — مثلِ اینکه در دستورِ غذا بنویسی «آرد» یا «ماده اول». ماشین همان ماشین است.

✅ چک کن: برای $g(x)=x^2-1$، مقدارِ $g(4)$ و $g(-1)$ چند است؟ — ۱۵ و ۰.

۴. دامنه: چه ورودی‌هایی مجازند#

بعضی ماشین‌ها با بعضی ورودی‌ها کار نمی‌کنند.

🤔 اول حدس بزن: کدام ورودی این ماشین را می‌شکند؟

صفر — چون از ترم ۱ فصل ۵ می‌دانی تقسیم بر صفر جواب ندارد. پس این تابع برای هر عددی جز صفر تعریف شده.

دامنه یعنی مجموعهٔ همهٔ ورودی‌های مجاز. برد یعنی مجموعهٔ همهٔ خروجی‌هایی که واقعاً بیرون می‌آیند.

برای $f(x)=2x+5$ دامنه همهٔ اعداد است — هر عددی بدهی جواب می‌گیرد. برای $h(x)=\frac{1}{x}$ دامنه همهٔ اعداد جز صفر است.

سه چیز معمولاً دامنه را محدود می‌کنند و هر سه را قبلاً دیده‌ای:

1. تقسیم بر صفر (ترم ۱ فصل ۵).
2. ریشهٔ دومِ عددِ منفی (ترم ۳ فصل ۷) — در $\sqrt{x}$ دامنه فقط اعدادِ نامنفی است.
3. معنای مسئله — اگر x تعدادِ آدم باشد، عددِ منفی و اعشاری بی‌معنی است.

✅ چک کن: دامنهٔ $f(x)=\frac{1}{x-3}$ چیست؟ — همهٔ اعداد جز ۳، چون آنجا مخرج صفر می‌شود.

💡 نکته: آن موردِ سوم مهم‌تر از دو تای اول است و بیشتر فراموش می‌شود. یک تابعِ کرایهٔ تاکسی از نظرِ ریاضی برای $x=-50$ جواب می‌دهد، ولی «منهای پنجاه کیلومتر» چیزی نیست. همان قدمِ آخری که در ترم ۳ فصل ۹ یاد گرفتی: جواب را به دنیای مسئله برگردان.

۵. یک تابع، چهار چهره#

مهم‌ترین ایدهٔ کلِ ترم، و از همین‌جا شروع می‌شود: یک تابع را می‌شود به چهار شکلِ مختلف نشان داد، و هر چهار تا یک چیزند.

1. با کلمه: «دو برابر کن و ۵ تا اضافه کن.»

2. با فرمول: $f(x)=2x+5$.

3. با جدول: همان جدولِ بخش ۱.

4. با نمودار: که فصل بعد می‌سازیمش.

هر کدام چیزی را بهتر نشان می‌دهد. فرمول برای محاسبه، جدول برای دیدنِ چند مقدارِ مشخص، و نمودار برای دیدنِ رفتارِ کلی در یک نگاه.

🌱 ریشه‌اش کجاست: مهارتِ حرکت بینِ این چهار چهره، تقریباً کلِ چیزی است که این ترم می‌خواهد به تو بدهد. و در ترم ۸ که به gradient descent برسی، همان مهارت است که کار می‌کند: یک فرمولِ هزینه می‌بینی، شکلِ نمودارش را تصور می‌کنی، و می‌فهمی الگوریتم دارد روی آن سطح سُر می‌خورد.

در فصل بعد#

جدول و فرمول را داری. فصل بعد صفحه‌ای می‌سازد که بشود آن جفت‌های ورودی-خروجی را رویش گذاشت — و از آن لحظه، هر تابع یک شکل پیدا می‌کند که می‌توانی نگاهش کنی.