بردار: عدد که جهت دارد

در این فصل چه یاد می‌گیری#

«دو کیلومتر راه رفتم.» — کجا رسیدی؟

نمی‌شود گفت، چون فقط اندازه را داده‌ای، نه جهت را. برای اینکه بشود جایت را تعیین کرد، یک عدد کافی نیست.

بردار همین است: چیزی که هم اندازه دارد هم جهت. و برخلافِ چیزی که به‌نظر می‌رسد، «جدولِ عدد» نیست — یک فلش است، و همهٔ ترم روی همین تصویر سوار می‌شود.

این ترم زبانی است که هوش مصنوعی با آن حرف می‌زند. هر عکس، هر جمله، هر کاربر در یک سیستمِ توصیه — همه به بردار تبدیل می‌شوند.

آخر این فصل می‌توانی:

• بردار را با مؤلفه‌هایش بنویسی و بکشی
• دو بردار را جمع کنی و بگویی معنی‌اش چیست
• بگویی چرا یک بردار هم می‌تواند نقطه باشد هم جابه‌جایی

قبل از شروع#

• از ترم ۴ فصل ۲: صفحهٔ مختصات، مختصاتِ نقطه.
• از ترم ۵ فصل ۴: فرمولِ فاصله و مثلثِ قائم‌الزاویه‌اش.
• از ترم ۱ فصل ۶: جمع و تفریقِ اعدادِ منفی.

۱. اندازه به‌تنهایی کافی نیست#

بعضی کمیت‌ها فقط یک عدد لازم دارند: دما، جرم، قیمت. به این‌ها می‌گویند اسکالر.

بعضی دیگر بدونِ جهت بی‌معنی‌اند: جابه‌جایی، سرعت، نیرو. این‌ها بردارند.

روی صفحهٔ ترم ۴، یک بردار را با دو عدد می‌نویسی — چقدر افقی، چقدر عمودی:

یعنی: سه واحد به راست و دو واحد به بالا. این را با یک فلش نشان می‌دهند.

⚠️ دامِ رایج: فکرکردن به اینکه بردار «همان مختصاتِ نقطه» است و چیزِ تازه‌ای نیست. تفاوت در این است که بردار جای شروعِ ثابتی ندارد. فلشِ $(3,2)$ از هر جایی می‌تواند شروع شود؛ تا وقتی سه به راست و دو به بالا برود، همان بردار است.

۲. یک بردار، دو خوانش#

اینجا نکته‌ای هست که اگر جا بیفتد، بقیهٔ ترم آسان می‌شود. بردارِ $(3,2)$ را می‌شود دو جور خواند:

۱. به‌عنوان یک نقطه: جایی که سه واحد راست و دو واحد بالای مبدأ است. (فلش از مبدأ شروع می‌شود.)

۲. به‌عنوان یک جابه‌جایی: دستورِ «سه به راست، دو به بالا» — از هر جا که باشی.

🤔 اول حدس بزن: کدام خوانش درست است؟

هر دو، و انتخاب بینشان بستگی به مسئله دارد. برای موقعیتِ یک شهر روی نقشه، خوانشِ اول؛ برای «چقدر جابه‌جا شدم»، خوانشِ دوم.

💡 نکته: این دوگانگی ضعفِ تعریف نیست، قدرتِ آن است. در فصل ۵ که ماتریس‌ها را ببینی، همین که یک بردار می‌تواند «جا» یا «حرکت» باشد، اجازه می‌دهد یک ماتریس هم نقطه‌ها را جابه‌جا کند هم فضا را تبدیل.

۳. جمعِ بردار#

دو جابه‌جایی پشتِ‌سرِهم: اول $(3,2)$، بعد $(1,4)$. کجا می‌رسی؟

هر مؤلفه جداگانه جمع می‌شود. افقی‌ها با هم، عمودی‌ها با هم — و از ترم ۲ فصل ۲ می‌دانی چرا: سیب با سیب، پرتقال با پرتقال. حرکتِ افقی و عمودی هم‌جنس نیستند.

تصویرش: فلشِ دوم را از نوکِ فلشِ اول شروع کن. فلشی که از شروعِ اولی تا نوکِ دومی می‌رود، حاصل‌جمع است.

✅ چک کن: $(-2,5)+(6,-1)$ چند است؟ — $(4,4)$.

💡 نکته: ترتیب مهم نیست: $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$. همان خاصیتِ جابه‌جاییِ ترم ۱ فصل ۴، و تصویرش یک متوازی‌الاضلاع است: از هر دو مسیر به همان نقطه می‌رسی.

۴. تفریق: از این به آن#

تفریقِ بردار هم مؤلفه‌به‌مؤلفه است، ولی معنی‌اش مهم‌تر از محاسبه‌اش است.

این برداری است که از نوکِ $\vec{a}$ به نوکِ $\vec{b}$ می‌رود — یعنی «چقدر باید جابه‌جا شوم تا از a به b برسم».

و از ترم ۱ فصل ۳ این تعریف آشناست: تفریق یعنی فاصله، نه فقط «کم‌کردن». اینجا همان ایده، در دو بُعد.

✅ چک کن: از نقطهٔ $(2,3)$ به نقطهٔ $(7,1)$ چه جابه‌جایی‌ای لازم است؟ — $(7,1)-(2,3)=(5,-2)$: پنج به راست و دو به پایین.

🌱 ریشه‌اش کجاست: همین تفریق در یادگیری ماشین «فاصلهٔ دو داده» را می‌سازد: اگر هر داده یک بردار باشد، تفریقشان می‌گوید چقدر و در چه جهتی با هم فرق دارند. و طولِ آن بردارِ تفاضل، دقیقاً همان فاصلهٔ ترم ۵ فصل ۴ است — که فصل بعد می‌سازیمش.

۵. بیش از دو بُعد#

تا اینجا همه‌چیز روی صفحه بود. ولی هیچ چیزی ما را به دو مؤلفه محدود نمی‌کند:

اولی در فضای سه‌بُعدی است و می‌شود تصورش کرد. دومی پنج مؤلفه دارد و نمی‌شود تصورش کرد — ولی همهٔ قواعد عیناً کار می‌کنند: جمع مؤلفه‌به‌مؤلفه، تفریق مؤلفه‌به‌مؤلفه.

🤔 اول حدس بزن: اگر نمی‌شود تصورش کرد، به چه دردی می‌خورد؟

اینجا جایی است که بردار از هندسه فراتر می‌رود. هر چیزی که با چند عدد توصیف شود، یک بردار است.

• یک خانه: (متراژ، تعدادِ اتاق، سنِ بنا، فاصله تا مرکز) — بردارِ چهارمؤلفه‌ای.
• یک عکسِ کوچک: هر پیکسل یک عدد — برداری با هزاران مؤلفه.
• یک کلمه در یک مدلِ زبانی: برداری با صدها مؤلفه.

و همین که به آن‌ها بردار می‌گویی، همهٔ ابزارهای این ترم رویشان کار می‌کند — جمع، فاصله، شباهت، تبدیل.

💡 نکته: وقتی به بردارِ هزاربُعدی رسیدی، تصویرِ دوبُعدی را دور نریز. همهٔ قواعد از همان تصویر آمده‌اند و شهودی که در دو بُعد ساخته‌ای تقریباً همیشه در ابعادِ بالاتر هم درست است. (تقریباً — و در فصل ۳ یک استثنای جالبش را می‌بینی.)

در فصل بعد#

بردار داری، ولی هنوز نمی‌توانی بگویی «چقدر بزرگ است». فصل بعد طولش را می‌سازد — و طولش چیزی جز فیثاغورسِ ترم ۵ نیست. همان‌جا معلوم می‌شود آنچه در هوش مصنوعی norm نامیده می‌شود، یک مثلثِ قائم‌الزاویه است.