در این فصل چه یاد میگیری#
دوازده شکلات روی میز است. یک بار میخواهی بینِ چهار نفر پخشش کنی، یک بار در جعبههای چهارتایی بچینی. هر دو را با یک عبارت مینویسی و جوابِ هر دو ۳ است — ولی آن دو ۳ یک چیز نیستند. این فصل کوتاه است چون یک هدف دارد: اینکه از این به بعد در تقسیم دو سؤال ببینی، نه یک دستور.
آخر این فصل میتوانی:
- بگویی یک مسئلهٔ تقسیم کدامیک از آن دو سؤال است، و واحدِ جواب چیست
- باقیمانده را در هر دو سؤال معنی کنی
- توضیح بدهی چرا تقسیم بر صفر جواب ندارد، بدونِ پناهبردن به «قرارداد است»
قبل از شروع#
- از فصل ۴: ضرب یعنی «چند بار، چه چیزی»، خاصیتِ جابهجایی، و اینکه هر عددی ضرب در صفر صفر میشود.
- از فصل ۳: جمع و تفریق معکوسِ هماند؛ هر کدام سؤالِ دیگری را جواب میدهد.
۱. یک عدد، دو سؤال#
دوازده شکلات، دو صحنه:
صحنهٔ اول: چهار نفر دورِ میز نشستهاند و شکلاتها را بینشان پخش میکنی. تعدادِ دستهها را میدانی؛ سهمِ هر نفر را نه.
صحنهٔ دوم: جعبههایی داری که در هر کدام چهار شکلات جا میشود. اندازهٔ هر دسته را میدانی؛ تعدادِ جعبهها را نه.
🤔 اول حدس بزن: این دو صحنه یک محاسبه دارند یا دو محاسبه؟ و اگر یک محاسبه دارند، معنیِ جوابشان هم یکی است؟
هر دو را با یک عبارت مینویسی:
ولی آن ۳ در صحنهٔ اول یعنی سه شکلات و در صحنهٔ دوم یعنی سه جعبه. عددها یکیاند، واحدها نه.
صحنهٔ اول تقسیمِ افرازی است: تعدادِ دستهها معلوم، اندازهٔ هر دسته مجهول. صحنهٔ دوم تقسیمِ اندازهای است: اندازهٔ هر دسته معلوم، تعدادِ دستهها مجهول.
✅ چک کن: «۲۰ صندلی را در ۵ ردیفِ مساوی بچین» کدام سؤال است؟ — تعدادِ دستهها معلوم است، پس افرازی؛ جواب یعنی چهار صندلی در هر ردیف.
✅ چک کن: «۲۰ صندلی داری و هر میز ۵ صندلی میخواهد» چطور؟ — اندازهٔ هر دسته معلوم است، پس اندازهای؛ جواب یعنی چهار میز. همان $20 \div 5$، جوابِ کاملاً متفاوت.
۲. چرا یک عمل به دو سؤال جواب میدهد#
🤔 اول حدس بزن: اگر این دو سؤال واقعاً متفاوتاند، چرا یک محاسبه هر دو را جواب میدهد؟
چون هر دو یک ضربِ ناتماماند: «چهار دسته، هر دسته چند تا؟» و «چند دسته، هر دسته چهار تا؟»
و از فصل ۴ میدانی جای دو عددِ ضرب که عوض شود جواب عوض نمیشود. پس این دو معادله یک عدد را میخواهند. جابهجاییِ ضرب تنها دلیلی است که یک عملِ تقسیم به دو سؤال جواب میدهد — نه اینکه آن دو سؤال «در واقع یکی» باشند.
⚠️ دامِ رایج: «تقسیم یعنی پخشکردن، و جواب همیشه کوچکتر میشود.» در ترم ۲ «بین نیم نفر پخش کن» بیمعنی میشود، ولی «چند تا نیم در ۱۲ جا میشود» معنی دارد — و جوابش ۲۴ است، بزرگتر از خودِ ۱۲. کسی که فقط پخشکردن را بلد است همانجا گیر میکند.
۳. وقتی چیزی باقی میماند#
حالا سیزده شکلات، همان دو صحنه.
🤔 اول حدس بزن: در صحنهٔ جعبهها، آن یک شکلاتِ اضافه سرِ آخر چه میشود؟
در صحنهٔ اول هر نفر سه شکلات میگیرد و یکی روی میز میماند؛ در صحنهٔ دوم سه جعبه پر میشود و یکی بیجعبه میماند. به آن یکی میگویند باقیمانده.
✅ چک کن: باقیمانده هیچوقت ۴ یا بزرگتر نمیشود. چرا؟ — چون اگر چهار تا باقی میماند، یک جعبهٔ دیگر پر میشد. باقیمانده همیشه کوچکتر است از عددی که بر آن تقسیم کردهای.
۴. سؤالی که جواب ندارد#
🤔 اول حدس بزن: $12 \div 0$ چند میشود؟ صفر؟ دوازده؟ بینهایت؟ یا چیزِ دیگری؟
سؤالِ اندازهای را بپرس، چون معنیِ تقسیم آنجا از همه واضحتر است: چند تا صفر لازم است تا ۱۲ شود؟
یک جعبهٔ خالی بردار؛ صفر شکلات دارد. دو جعبهٔ خالی؟ باز هم هیچ. صد جعبهٔ خالی؟ هنوز هیچ. هر تعداد جعبهٔ خالی که روی هم بگذاری جمعشان صفر میماند و هیچوقت به ۱۲ نمیرسد. پس هیچ عددی وجود ندارد که جوابِ این سؤال باشد. نه اینکه جواب سخت باشد یا هنوز پیدایش نکرده باشیم؛ جوابی در کار نیست.
از راهِ ضرب هم به همین میرسی. $12 \div 0$ یعنی آن عددی که:
ولی از فصل ۴ میدانی هر عددی ضرب در صفر صفر میشود. سمتِ چپ همیشه صفر است و سمتِ راست ۱۲. هیچ عددی این تساوی را برقرار نمیکند.
و یک حالتِ آخر: $0 \div 0$ هم جواب ندارد، ولی به دلیلِ وارونه. سؤال این است که چه عددی در صفر ضرب شود تا صفر بدهد — و اینجا هر عددی جواب میدهد: ۵، ۷، ۱۰۰۰. یک تقسیم باید یک جوابِ مشخص بدهد؛ سؤالی که بینهایت جواب دارد به همان اندازه بیفایده است که سؤالی که هیچ جوابی ندارد.
پس تقسیم بر صفر «ممنوع» نیست و کسی آن را قدغن نکرده. سؤالی است که یا هیچ جوابی ندارد، یا آنقدر جواب دارد که هیچکدام به کار نمیآید.
⚠️ دامِ رایج: «$12 \div 0$ میشود صفر» و «میشود بینهایت». اولی را خودت امتحان کن: اگر جواب صفر بود، باید $0 \times 0 = 12$ میشد، که نیست. دومی هم عددی نیست که بتوانی جایش بگذاری و امتحانش کنی — روی محورِ اعدادِ فصل ۱ هیچ نقطهای به اسمِ بینهایت نیست.
✅ چک کن: پس چرا $0 \div 12$ جواب دارد و جوابش صفر است؟ — سؤال این است که چه عددی در ۱۲ ضرب شود تا صفر بدهد. فقط صفر. یک سؤال، یک جواب، تمام.
تمرینها
اول خودت فکر کن یا امتحان کن — بعد اینجا را باز کن.
در فصل بعد#
تا اینجا هر جا تفریق کردیم عددِ بزرگتر بالا بود. فصل بعد آن قفل را باز میکند: وقتی از ۵ تا ۸ کم کنی چه اتفاقی میافتد، و آن ادعای مشهور که «منفی در منفی مثبت میشود» از کجا میآید.
به آخر این فصل رسیدی!
اگر ساختی و جواب داد، این دکمه مال توست.