نسبت و تناسب

در این فصل چه یاد می‌گیری#

دستورِ غذا برای ۴ نفر است و تو ۶ نفری. نقشه می‌گوید هر سانتی‌متر برابرِ ۲ کیلومتر است. عکسی که بزرگش می‌کنی نباید کشیده شود.

هر سهٔ این‌ها یک مسئله‌اند: چیزی را بزرگ یا کوچک کن، ولی رابطهٔ داخلی‌اش را دست‌نخورده نگه دار. این فصل آن ابزار را می‌دهد، و ابزارش چیزی جز کسرهای هم‌ارزِ فصل ۱ نیست — فقط با اسمِ تازه.

آخر این فصل می‌توانی:

• نسبت را بنویسی و ساده کنی
• یک تناسب را حل کنی و بگویی چرا آن روش کار می‌کند
• مسئلهٔ مقیاس (نقشه، دستور غذا، بزرگ‌نمایی) را حل کنی

قبل از شروع#

• از فصل ۱: کسرهای هم‌ارز — ضربِ هم‌زمانِ صورت و مخرج نقطه را جابه‌جا نمی‌کند.
• از فصل ۵: درصد یعنی نسبتی که مخرجش ۱۰۰ است.
• از فصل ۳: ضرب و تقسیمِ کسر.

۱. نسبت: مقایسه بدونِ «کل»#

در یک لیوان شربت، ۲ پیمانه شربت و ۵ پیمانه آب ریخته‌ای. این را می‌نویسند $2:5$ و می‌خوانند «دو به پنج».

🤔 اول حدس بزن: آیا $\frac{2}{5}$ از مایعِ داخلِ لیوان شربت است؟

نه — و این اولین تفاوتِ نسبت با کسر است. کلِ مایع ۷ پیمانه است، پس شربت $\frac{2}{7}$ آن است. نسبتِ $2:5$ دو جزء را با هم می‌سنجد، نه جزء را با کل.

• نسبت ($2:5$): این در برابر آن.
• کسر ($\frac{2}{7}$): این در برابر همه.

هر دو درست‌اند و هر دو از یک وضعیت حرف می‌زنند؛ فقط سؤالشان فرق دارد.

⚠️ دامِ رایج: خواندنِ «نسبتِ ۱ به ۳» به‌عنوان «یک‌سوم». نسبتِ $1:3$ یعنی یک‌چهارمِ کل. هر وقت در دستوری خواندی «نسبتِ سرکه به روغن ۱ به ۳ باشد»، مخرجِ کسرت جمعِ دو عدد است، نه عددِ دوم.

نسبت را هم می‌شود ساده کرد، دقیقاً مثل کسر و به همان دلیل:

هر دو طرف را بر ۳ تقسیم کردی. مقدار عوض نشد چون رابطه عوض نشد؛ فقط با عددهای کوچک‌تر بیانش کردی.

✅ چک کن: در کلاسی ۱۲ دختر و ۱۸ پسر هستند. نسبتِ دختر به پسر را ساده بنویس، و بگو دخترها چه کسری از کلاس‌اند. — نسبت $2:3$، و کسر $\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$.

۲. تناسب: وقتی دو نسبت برابرند#

تناسب یعنی این جمله که دو نسبت یکی‌اند:

از فصل ۱ می‌دانی این دو یک عددند. پس چه چیزِ تازه‌ای در کار است؟ این: حالا یکی از چهار عدد را نمی‌دانی و می‌خواهی پیدایش کنی.

دستورِ غذا برای ۴ نفر ۶ قاشق روغن می‌خواهد. برای ۶ نفر چند قاشق؟

🤔 اول حدس بزن: جواب از ۶ بیشتر است یا کمتر؟ چقدر بیشتر، تقریباً؟

بیشتر، چون آدم‌ها بیشتر شده‌اند. و چون تعدادِ نفرات یک‌ونیم برابر شده، روغن هم باید یک‌ونیم برابر شود: ۹ قاشق.

همین راهِ حل است و اسمِ خاصی هم لازم ندارد: ببین یک طرف چند برابر شده، همان بلا را سرِ طرفِ دیگر بیاور. از ۴ به ۶ یعنی ضربدرِ ۱٫۵؛ پس ۶ قاشق هم می‌شود ۹.

۳. راهِ همیشگی، وقتی ضریب تمیز نیست#

گاهی آن ضریب عددِ زشتی است. آن‌وقت راهِ عمومی‌تر لازم می‌شود، و از فصل ۲ ترم ۱ همه‌اش را داری.

نقشه‌ای که هر ۳ سانتی‌مترش ۸ کیلومتر است؛ ۱۰ سانتی‌متر چند کیلومتر می‌شود؟

هر دو طرف را در ۱۰ ضرب کن تا مخرجِ سمتِ راست برود:

حدودِ ۲۶٫۷ کیلومتر.

💡 نکته: اگر «ضربِ ضربدری» را جایی شنیده‌ای، همین است: در تناسبِ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$، رابطهٔ $a\times d=b\times c$ برقرار است. ولی آن یک میان‌بر است، نه یک قاعدهٔ جدید — از ضربِ دو طرفِ تساوی در $b$ و در $d$ می‌آید. اگر روزی فراموشش کردی، از نو بسازش؛ در ترم ۳ همین کار را با نامِ «عملیاتِ یکسان روی دو طرف» رسمی می‌کنیم.

✅ چک کن: ۵ کیلو میوه ۴۰۰ هزار است. ۸ کیلو چند؟ — $\frac{400}{5}\times 8=640$ هزار.

۴. مقیاس: بزرگ‌کردن بدونِ خراب‌کردن#

عکسی داری که ۶ در ۴ است و می‌خواهی عرضش را ۱۰ کنی. طولش چند شود که کشیده نشود؟

اینکه شکل کشیده نشود دقیقاً یعنی نسبتِ داخلی‌اش دست‌نخورده بماند. هر وقت عکسی «له‌شده» به‌نظر می‌رسد، کسی یکی از دو بُعد را عوض کرده و دیگری را نه.

⚠️ دامِ رایج: اضافه‌کردن به‌جای ضرب‌کردن. اگر عرض از ۴ به ۱۰ رفته، ۶ واحد اضافه شده؛ وسوسه می‌شوی به طول هم ۶ واحد اضافه کنی و بگویی ۱۲. ولی $\frac{6}{4}$ و $\frac{12}{10}$ برابر نیستند — اولی ۱٫۵ است و دومی ۱٫۲. مقیاس ضربی است، نه جمعی. این یکی از عمیق‌ترین تفاوت‌های ریاضی است و در ترم ۴ وقتی تابعِ خطی و نمایی را کنارِ هم بگذاری، دوباره سراغت می‌آید.

🌱 ریشه‌اش کجاست: همین ایده در ترم ۵ اسمِ «تشابه» می‌گیرد و پایهٔ مثلثات می‌شود: دو مثلث که زاویه‌هایشان یکی باشد، ضلع‌هایشان نسبتِ یکسانی دارند — و از همان نسبت است که سینوس و کسینوس ساخته می‌شوند. نسبت، درِ ورودیِ کلِ مثلثات است.

در فصل بعد#

نسبتی که یک طرفش ۱ باشد اسمِ خاصی دارد و در زندگیِ روزمره از هر ابزارِ دیگری بیشتر به کارت می‌آید: نرخ. فصل بعد نشان می‌دهد چطور با نگه‌داشتنِ واحدها در محاسبه، جلوی خطاهایی را بگیری که هیچ‌وقت متوجهشان نمی‌شدی.