کمینه و بیشینه در آمار یعنی چه؟ + دامنهٔ تغییرات
نمرهٔ ریاضی ۸ نفر از یک کلاس این است:
12, 17, 9, 20, 15, 11, 18, 14
معلم میپرسد: «کمینه و بیشینهٔ این دادهها چیست؟» و این دقیقاً همانجایی است که خیلیها دو کلمهٔ ساده را با هم قاطی میکنند. جواب کوتاه:
کمینه = کوچکترین دادهٔ موجود. بیشینه = بزرگترین دادهٔ موجود. نه «کمترین حدِ ممکن»، نه «بیشترین چیزی که میشد گرفت» — فقط کوچکترین و بزرگترین عددی که واقعاً در فهرست هست.
اینجا کمینه ۹ است و بیشینه ۲۰. صفر نیست (چون کسی صفر نگرفته) و «نمرهٔ کامل» هم ربطی ندارد — بیشینه از دلِ خودِ دادهها میآید.
چرا این دو عدد مهماند؟ چون بازه را میسازند
کمینه و بیشینه دو سرِ میداناند: میگویند دادهها «از کجا تا کجا» پخش شدهاند. و تفاضلشان یک اسم رسمی دارد — دامنهٔ تغییرات:
دامنهٔ تغییرات = بیشینه − کمینه
برای نمرههای بالا: 20 − 9 = 11. یعنی پهنای پراکندگیِ این کلاس ۱۱ نمره است.
دامنه چیزی میگوید که میانگین نمیتواند بگوید. دو کلاس را مقایسه کن:
| دادهها | میانگین | کمینه | بیشینه | دامنه | |
|---|---|---|---|---|---|
| کلاس الف | ۱۴، ۱۴، ۱۵، ۱۵، ۱۶، ۱۶ | ۱۵ | ۱۴ | ۱۶ | ۲ |
| کلاس ب | ۵، ۸، ۱۵، ۱۷، ۲۰، ۲۵ | ۱۵ | ۵ | ۲۵ | ۲۰ |
میانگینِ هر دو ۱۵ است — روی کاغذ «مثل هم». ولی الف کلاسی یکدست است و ب کلاسی از زمین تا آسمان. آن دو عددِ ساده — کمینه و بیشینه — همین تفاوتِ پنهان را لو میدهند. برای همین گزارشهای هواشناسی همیشه «کمینه و بیشینهٔ دما» میگویند نه فقط میانگین: دمای میانگینِ ۲۰ درجه میتواند یک روزِ بهاریِ آرام باشد، یا روزی بیابانی که صبحش ۵ درجه بوده و ظهرش ۳۵.
دامهای امتحانی، از نزدیک
۱. مرتبکردنِ اشتباه لازم نیست — دقت لازم است. سادهترین راه، یک بار مرتبکردن است: 9, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 20 — دو سرِ فهرست، جوابِ توست. اگر مرتب نمیکنی، حواست باشد که «اولین عددِ فهرست» هیچ امتیازی ندارد؛ کمینه شاید وسط باشد.
۲. دادهی تکراری چیزی را عوض نمیکند. اگر دو نفر ۲۰ گرفته باشند، بیشینه همچنان ۲۰ است — بیشینه یک «مقدار» است، نه یک «نفر».
۳. با عددهای منفی، حواسجمعتر. کمینهٔ دماهای −3, 2, −8, 5 میشود ۸−؛ چون ۸− از ۳− کوچکتر است. روی محورِ اعداد، «کوچکتر» یعنی «چپتر»، نه «قدرمطلقِ کمتر».
۴. کمینه و بیشینه به دادهٔ پرت حساساند. اگر یک نفر در آزمونِ کلاس ب غایب بوده و صفر خورده، دامنه یکدفعه از ۲۰ به ۲۵ میپرد. این نقطهضعفِ شناختهشدهٔ دامنه است: فقط به دو سر نگاه میکند و وسط برایش مهم نیست. برای همین آمار ابزارهای مقاومتری هم دارد، ولی اولین قدمِ فهمیدنِ هر مجموعهداده هنوز همین دو عدد است.
همین دو کلمه در دنیای توابع
نکتهٔ آخر برای اینکه گیج نشوی: در فصلهای بالاترِ ریاضی، «بیشینه و کمینه» دربارهٔ تابع هم گفته میشود — بلندترین قله و گودترین درّهٔ یک نمودار، جایی که شیب صفر میشود. ایده همان است («بزرگترین و کوچکترین مقدار»)، ولی آنجا مقدارها بینهایتتا هستند و پیداکردنشان ابزار میخواهد. آن داستان را در بیشینه و کمینهٔ تابع چیست؟ گفتهایم — از پرتابِ توپ تا آموزش هوش مصنوعی.
جمعبندی: در آمار، کمینه یعنی کوچکترین دادهٔ موجود، بیشینه یعنی بزرگترینش، و تفاضلشان — دامنهٔ تغییرات — پهنای میدانِ دادههاست. سه عدد که قبل از هر میانگینگرفتنی باید نگاهشان کنی.
