[{"data":1,"prerenderedAt":84},["ShallowReactive",2],{"lesson:t1-s08-powers":3,"course:risheh":51},{"meta":4,"prev":11,"next":15,"sections":19},{"slug":5,"term":6,"order":7,"title_fa":8,"free_preview":9,"source":10},"t1-s08-powers",1,8,"فصل ۰۸ — توان: ضربِ تکراری",true,"book",{"slug":12,"term":6,"order":13,"title_fa":14,"free_preview":9,"source":10},"t1-s07-order-operations",7,"فصل ۰۷ — ترتیب عملیات، و اینکه چرا اصلاً لازم است",{"slug":16,"term":6,"order":17,"title_fa":18,"free_preview":9,"source":10},"t1-s09-estimation-project",9,"فصل ۰۹ — پروژه: تخمین بزن، بعد بشمار",[20,24,27,30,33,36,39,44,48],{"kind":21,"heading":22,"html":23},"normal","در این فصل چه یاد می‌گیری","\u003Ch2 id=\"در-این-فصل-چه-یاد-می‌گیری\">در این فصل چه یاد می‌گیری\u003Ca class=\"head-anchor\" href=\"#%D8%AF%D8%B1-%D8%A7%DB%8C%D9%86-%D9%81%D8%B5%D9%84-%DA%86%D9%87-%DB%8C%D8%A7%D8%AF-%D9%85%DB%8C%E2%80%8C%DA%AF%DB%8C%D8%B1%DB%8C\" aria-label=\"پیوند به این بخش\">#\u003C\u002Fa>\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>یک خبر را به دو نفر می‌گویی و هر کدام از آن دو، همان خبر را به دو نفرِ دیگر. اگر این کار ده دور ادامه پیدا کند، چند نفر خبر را شنیده‌اند؟ برای جواب باید ده بار عددِ ۲ را در هم ضرب کنی، و نوشتنِ آن ضربِ ده‌تایی همان دردسری است که در فصل ۴ با جمعِ طولانی داشتیم. راهِ حل هم همان است: یک نامِ کوتاه‌تر. بعد همان نام را رو به پایین ادامه می‌دهی تا به دو جای عجیب برسی، و آخر سؤال را برعکس می‌کنی.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>آخر این فصل می‌توانی:\u003C\u002Fp>\n\u003Cul>\n\u003Cli>یک ضربِ تکراری را با توان بنویسی و بگویی پایه و نما چه چیزی را گزارش می‌کنند\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>توضیح بدهی چرا هر عددی به‌توانِ صفر برابرِ ۱ است، از روی یک الگو نه از روی حافظه\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>نمای منفی را به تقسیم ترجمه کنی\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>ریشهٔ دومِ یک عدد را به‌عنوانِ ضلعِ یک مربع بخوانی\u003C\u002Fli>\n\u003C\u002Ful>\n",{"kind":21,"heading":25,"html":26},"قبل از شروع","\u003Ch2 id=\"قبل-از-شروع\">قبل از شروع\u003Ca class=\"head-anchor\" href=\"#%D9%82%D8%A8%D9%84-%D8%A7%D8%B2-%D8%B4%D8%B1%D9%88%D8%B9\" aria-label=\"پیوند به این بخش\">#\u003C\u002Fa>\u003C\u002Fh2>\n\u003Cul>\n\u003Cli>\u003Cstrong>از فصل ۴:\u003C\u002Fstrong> ضرب یعنی «چند بار، چه چیزی»، و مساحتِ مربع یعنی ضلع ضربدر ضلع.\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cstrong>از فصل ۵:\u003C\u002Fstrong> تقسیم معکوسِ ضرب است.\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cstrong>از فصل ۷:\u003C\u002Fstrong> ترتیبِ عملیات و پرانتز.\u003C\u002Fli>\n\u003C\u002Ful>\n",{"kind":21,"heading":28,"html":29},"۱. وقتی ضرب هم طولانی می‌شود","\u003Ch2 id=\"۱-وقتی-ضرب-هم-طولانی-می‌شود\">۱. وقتی ضرب هم طولانی می‌شود\u003Ca class=\"head-anchor\" href=\"#%DB%B1-%D9%88%D9%82%D8%AA%DB%8C-%D8%B6%D8%B1%D8%A8-%D9%87%D9%85-%D8%B7%D9%88%D9%84%D8%A7%D9%86%DB%8C-%D9%85%DB%8C%E2%80%8C%D8%B4%D9%88%D8%AF\" aria-label=\"پیوند به این بخش\">#\u003C\u002Fa>\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>برگردیم سرِ آن خبر. بعد از ده دور، تعدادِ آدم‌ها این است:\u003C\u002Fp>\n\u003Cdiv class=\"math-display\" dir=\"ltr\">\u003Cspan class=\"katex-display\">\u003Cspan class=\"katex\">\u003Cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\">\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mbin\">×\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mbin\">×\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mbin\">×\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mbin\">×\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mbin\">×\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mbin\">×\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mbin\">×\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mbin\">×\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mbin\">×\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:0.6444em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mrel\">=\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:0.6444em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">1024\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\n\u003Cblockquote>\n\u003Cp>🤔 \u003Cstrong>اول حدس بزن:\u003C\u002Fstrong> در آن ضربِ بالا — مثلِ جمعِ طولانیِ فصل ۴ — فقط دو خبرِ واقعی هست و بقیه‌اش تکرار است. آن دو خبر کدام‌اند؟\u003C\u002Fp>\n\u003C\u002Fblockquote>\n\u003Cp>دو خبر: \u003Cstrong>چه عددی\u003C\u002Fstrong> ضرب می‌شود، و \u003Cstrong>چند بار\u003C\u002Fstrong>. همان دو را کنارِ هم می‌نویسیم، این بار یکی پایین و یکی بالا:\u003C\u002Fp>\n\u003Cdiv class=\"math-display\" dir=\"ltr\">\u003Cspan class=\"katex-display\">\u003Cspan class=\"katex\">\u003Cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\">\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:0.8641em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"msupsub\">\u003Cspan class=\"vlist-t\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8641em;\">\u003Cspan style=\"top:-3.113em;margin-right:0.05em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-sizing reset-size6 size3 mtight\">\u003Cspan class=\"mord mtight\">\u003Cspan class=\"mord mtight\">10\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mrel\">=\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:0.6444em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">1024\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\n\u003Cp>عددِ پایین \u003Cstrong>پایه\u003C\u002Fstrong> است و عددِ بالا \u003Cstrong>نما\u003C\u002Fstrong>: پایه می‌گوید چه چیزی ضرب می‌شود و نما می‌گوید چند بار. این را بخوان «دو به‌توانِ ده».\u003C\u002Fp>\n\u003Cblockquote>\n\u003Cp>🌱 \u003Cstrong>ریشه‌اش کجاست:\u003C\u002Fstrong> این همان حرکتِ فصل ۴ است، یک طبقه بالاتر. آنجا جمعِ تکراری کوتاه شد و نامش را ضرب گذاشتیم؛ اینجا ضربِ تکراری کوتاه می‌شود. توان چیزِ تازه‌ای به دنیا اضافه نکرد.\u003C\u002Fp>\n\u003C\u002Fblockquote>\n\u003Cblockquote>\n\u003Cp>⚠️ \u003Cstrong>دامِ رایج:\u003C\u002Fstrong> خواندنِ $2^{10}$ به‌عنوانِ «۲ ضربدر ۱۰»، که ۲۰ می‌دهد در حالی که جواب ۱۰۲۴ است. نما عددی نیست که ضرب شود؛ یک \u003Cstrong>شمارنده\u003C\u002Fstrong> است و می‌گوید چند تا.\u003C\u002Fp>\n\u003C\u002Fblockquote>\n\u003Cblockquote>\n\u003Cp>✅ \u003Cstrong>چک کن:\u003C\u002Fstrong> $3^4$ و $4^3$ چندند؟ — چهار تا ۳ در هم می‌شود ۸۱ و سه تا ۴ در هم می‌شود ۶۴. پس برخلافِ ضرب، جای پایه و نما را که عوض کنی جواب عوض می‌شود. خاصیتِ جابه‌جاییِ فصل ۴ دلیلی داشت که اینجا نیست.\u003C\u002Fp>\n\u003C\u002Fblockquote>\n",{"kind":21,"heading":31,"html":32},"۲. یک پله پایین‌تر: نمای صفر","\u003Ch2 id=\"۲-یک-پله-پایین‌تر-نمای-صفر\">۲. یک پله پایین‌تر: نمای صفر\u003Ca class=\"head-anchor\" href=\"#%DB%B2-%DB%8C%DA%A9-%D9%BE%D9%84%D9%87-%D9%BE%D8%A7%DB%8C%DB%8C%D9%86%E2%80%8C%D8%AA%D8%B1-%D9%86%D9%85%D8%A7%DB%8C-%D8%B5%D9%81%D8%B1\" aria-label=\"پیوند به این بخش\">#\u003C\u002Fa>\u003C\u002Fh2>\n\u003Cblockquote>\n\u003Cp>🤔 \u003Cstrong>اول حدس بزن:\u003C\u002Fstrong> جدولِ زیر را نگاه کن و \u003Cstrong>پیش از خواندنِ ادامه\u003C\u002Fstrong> سطرِ بعدی را روی کاغذ بنویس. از هر سطر به سطرِ پایینی چه اتفاقی می‌افتد؟\u003C\u002Fp>\n\u003C\u002Fblockquote>\n\u003Cdiv class=\"math-display\" dir=\"ltr\">\u003Cspan class=\"katex-display\">\u003Cspan class=\"katex\">\u003Cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\">\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:5.7964em;vertical-align:-2.6482em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mtable\">\u003Cspan class=\"col-align-r\">\u003Cspan class=\"vlist-t vlist-t2\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:3.1482em;\">\u003Cspan style=\"top:-5.2841em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"msupsub\">\u003Cspan class=\"vlist-t\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8641em;\">\u003Cspan style=\"top:-3.113em;margin-right:0.05em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-sizing reset-size6 size3 mtight\">\u003Cspan class=\"mord mtight\">4\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"top:-3.76em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"msupsub\">\u003Cspan class=\"vlist-t\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8641em;\">\u003Cspan style=\"top:-3.113em;margin-right:0.05em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-sizing reset-size6 size3 mtight\">\u003Cspan class=\"mord mtight\">3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"top:-2.2359em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"msupsub\">\u003Cspan class=\"vlist-t\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8641em;\">\u003Cspan style=\"top:-3.113em;margin-right:0.05em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-sizing reset-size6 size3 mtight\">\u003Cspan class=\"mord mtight\">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"top:-0.7118em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"msupsub\">\u003Cspan class=\"vlist-t\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8641em;\">\u003Cspan style=\"top:-3.113em;margin-right:0.05em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-sizing reset-size6 size3 mtight\">\u003Cspan class=\"mord mtight\">1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"vlist-s\">​\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:2.6482em;\">\u003Cspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"col-align-l\">\u003Cspan class=\"vlist-t vlist-t2\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:3.1482em;\">\u003Cspan style=\"top:-5.2841em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mrel\">=\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">16\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"top:-3.76em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mrel\">=\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">8\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"top:-2.2359em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mrel\">=\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">4\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"top:-0.7118em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mrel\">=\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"vlist-s\">​\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:2.6482em;\">\u003Cspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\n\u003Cp>هر بار که نما یکی کم می‌شود، یکی از آن ۲ها از ضرب بیرون می‌آید. بیرون‌آوردنِ یک عاملِ ۲ یعنی تقسیم بر ۲، پس هر سطر نصفِ سطرِ بالایی است: ۱۶، ۸، ۴، ۲. حالا سطرِ بعدی نمای صفر است و طبقِ همین الگو باید نصفِ ۲ باشد:\u003C\u002Fp>\n\u003Cdiv class=\"math-display\" dir=\"ltr\">\u003Cspan class=\"katex-display\">\u003Cspan class=\"katex\">\u003Cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\">\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:0.8641em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"msupsub\">\u003Cspan class=\"vlist-t\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8641em;\">\u003Cspan style=\"top:-3.113em;margin-right:0.05em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-sizing reset-size6 size3 mtight\">\u003Cspan class=\"mord mtight\">0\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mrel\">=\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:0.6444em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\n\u003Cp>این مخصوصِ عددِ ۲ نیست. با ۱۰ همین کار را بکن: ۱۰۰۰، ۱۰۰، ۱۰ — هر سطر بر ۱۰ تقسیم شده، پس سطرِ بعدی $10 \\div 10$ است، یعنی باز هم ۱.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>راهِ دوم، فقط از روی معنی:\u003C\u002Fp>\n\u003Cdiv class=\"math-display\" dir=\"ltr\">\u003Cspan class=\"katex-display\">\u003Cspan class=\"katex\">\u003Cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\">\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:0.9474em;vertical-align:-0.0833em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"msupsub\">\u003Cspan class=\"vlist-t\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8641em;\">\u003Cspan style=\"top:-3.113em;margin-right:0.05em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-sizing reset-size6 size3 mtight\">\u003Cspan class=\"mord mtight\">3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mbin\">÷\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:0.8641em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"msupsub\">\u003Cspan class=\"vlist-t\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8641em;\">\u003Cspan style=\"top:-3.113em;margin-right:0.05em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-sizing reset-size6 size3 mtight\">\u003Cspan class=\"mord mtight\">3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mrel\">=\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">8\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mbin\">÷\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:0.6444em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">8\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mrel\">=\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:0.6444em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\n\u003Cp>سمتِ چپ را از روی تعریف بخوان: سه تا ۲ در هم ضرب شده و بر سه تا ۲ تقسیم می‌شود. هر تقسیم بر ۲ یکی از آن ۲ها را برمی‌دارد، پس در پایان هیچ ۲ای در ضرب باقی نمانده — یعنی «ضربی که هیچ ۲ای در آن نیست»، که نوشتنش می‌شود $2^0$. و جوابِ همان محاسبه، همان‌طور که کنارش می‌بینی، ۱ است.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>دو راهِ مستقل به یک جا رسیدند. اینجا یک تفاوتِ مهم با فصل ۷ هست: ترتیبِ عملیات یک انتخاب بود و می‌شد جورِ دیگری هم انتخابش کرد، ولی این یکی انتخاب نیست. هر عددِ دیگری برای $2^0$ بگذاری، الگو سرِ یک پله می‌شکند بدونِ اینکه چیزی در مسئله عوض شده باشد — همان استدلالی که در فصل ۶ برای «منفی در منفی» به‌کار بردیم. تنها پایه‌ای که این استدلال برایش کار نمی‌کند صفر است؛ $0^0$ به همان دلیلِ $0 \\div 0$ در فصل ۵ جوابِ یکتا ندارد.\u003C\u002Fp>\n",{"kind":21,"heading":34,"html":35},"۳. پایین‌تر از صفر: نمای منفی","\u003Ch2 id=\"۳-پایین‌تر-از-صفر-نمای-منفی\">۳. پایین‌تر از صفر: نمای منفی\u003Ca class=\"head-anchor\" href=\"#%DB%B3-%D9%BE%D8%A7%DB%8C%DB%8C%D9%86%E2%80%8C%D8%AA%D8%B1-%D8%A7%D8%B2-%D8%B5%D9%81%D8%B1-%D9%86%D9%85%D8%A7%DB%8C-%D9%85%D9%86%D9%81%DB%8C\" aria-label=\"پیوند به این بخش\">#\u003C\u002Fa>\u003C\u002Fh2>\n\u003Cblockquote>\n\u003Cp>🤔 \u003Cstrong>اول حدس بزن:\u003C\u002Fstrong> همان الگو را یک پله پایین‌تر ببر. اگر هر پله بر ۲ تقسیم می‌کرد، بعد از $2^0$ چه می‌آید؟\u003C\u002Fp>\n\u003C\u002Fblockquote>\n\u003Cdiv class=\"math-display\" dir=\"ltr\">\u003Cspan class=\"katex-display\">\u003Cspan class=\"katex\">\u003Cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\">\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:7.3205em;vertical-align:-3.4103em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mtable\">\u003Cspan class=\"col-align-r\">\u003Cspan class=\"vlist-t vlist-t2\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:3.9103em;\">\u003Cspan style=\"top:-6.0462em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"msupsub\">\u003Cspan class=\"vlist-t\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8641em;\">\u003Cspan style=\"top:-3.113em;margin-right:0.05em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-sizing reset-size6 size3 mtight\">\u003Cspan class=\"mord mtight\">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"top:-4.5221em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"msupsub\">\u003Cspan class=\"vlist-t\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8641em;\">\u003Cspan style=\"top:-3.113em;margin-right:0.05em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-sizing reset-size6 size3 mtight\">\u003Cspan class=\"mord mtight\">1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"top:-2.9979em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"msupsub\">\u003Cspan class=\"vlist-t\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8641em;\">\u003Cspan style=\"top:-3.113em;margin-right:0.05em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-sizing reset-size6 size3 mtight\">\u003Cspan class=\"mord mtight\">0\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"top:-1.4738em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"msupsub\">\u003Cspan class=\"vlist-t\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8641em;\">\u003Cspan style=\"top:-3.113em;margin-right:0.05em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-sizing reset-size6 size3 mtight\">\u003Cspan class=\"mord mtight\">\u003Cspan class=\"mord mtight\">−\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord mtight\">1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"top:0.0503em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"msupsub\">\u003Cspan class=\"vlist-t\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8641em;\">\u003Cspan style=\"top:-3.113em;margin-right:0.05em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-sizing reset-size6 size3 mtight\">\u003Cspan class=\"mord mtight\">\u003Cspan class=\"mord mtight\">−\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord mtight\">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"vlist-s\">​\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:3.4103em;\">\u003Cspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"col-align-l\">\u003Cspan class=\"vlist-t vlist-t2\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:3.9103em;\">\u003Cspan style=\"top:-6.0462em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mrel\">=\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">4\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"top:-4.5221em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mrel\">=\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"top:-2.9979em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mrel\">=\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"top:-1.4738em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mrel\">=\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">1\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mbin\">÷\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"top:0.0503em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mrel\">=\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">1\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mbin\">÷\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mbin\">÷\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"vlist-s\">​\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:3.4103em;\">\u003Cspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\n\u003Cp>الگو نمی‌شکند؛ فقط از آن‌سوی ۱ ادامه پیدا می‌کند. نمای مثبت می‌گفت «چند بار ضرب کن» و نمای منفی می‌گوید «چند بار \u003Cstrong>تقسیم\u003C\u002Fstrong> کن». پس $2^{-3}$ یعنی سه بار تقسیم بر ۲، یعنی $1 \\div 8$.\u003C\u002Fp>\n\u003Cblockquote>\n\u003Cp>🌱 \u003Cstrong>ریشه‌اش کجاست:\u003C\u002Fstrong> علامتِ منفی همان کاری را می‌کند که در فصل ۶ می‌کرد — \u003Cstrong>جهت را برمی‌گرداند.\u003C\u002Fstrong> آنجا روی محور به‌جای راست به چپ می‌رفتی؛ اینجا به‌جای ضرب، تقسیم می‌کنی.\u003C\u002Fp>\n\u003C\u002Fblockquote>\n\u003Cblockquote>\n\u003Cp>⚠️ \u003Cstrong>دامِ رایج:\u003C\u002Fstrong> خواندنِ $2^{-3}$ به‌عنوانِ یک عددِ منفی. علامتِ منفی روی \u003Cstrong>نما\u003C\u002Fstrong> نشسته نه روی جواب؛ جوابِ $2^{-3}$ عددی است بینِ صفر و ۱ و کاملاً مثبت.\u003C\u002Fp>\n\u003C\u002Fblockquote>\n\u003Cp>بدهیِ این بخش را صریح می‌گویم: عددی مثلِ $1 \\div 8$ روی محورِ ما هنوز نامی ندارد و از عددهای طبیعیِ فصل ۱ نیست. در ترم ۲ که کسر می‌آید، همین‌ها نامِ آشنایشان را می‌گیرند. تا آن‌وقت $2^{-3}$ را «سه بار تقسیم بر ۲» بخوان؛ این خوانش هیچ‌وقت از کار نمی‌افتد.\u003C\u002Fp>\n\u003Cblockquote>\n\u003Cp>🌱 \u003Cstrong>ریشه‌اش کجاست:\u003C\u002Fstrong> ستون‌های فصل ۲ یادت هست — یکان و دهگان و صدگان؟ آن‌ها دقیقاً همین توان‌های ده‌اند: $10^0$ و $10^1$ و $10^2$. و ستون‌هایی که در ترم ۲ سمتِ راستِ یکان اضافه می‌شوند، توان‌های منفیِ ده‌اند. ارزشِ مکانی از اول یک جدولِ توان بود؛ ما فقط نامش را نداشتیم.\u003C\u002Fp>\n\u003C\u002Fblockquote>\n",{"kind":21,"heading":37,"html":38},"۴. سؤالِ برعکس: ریشهٔ دوم","\u003Ch2 id=\"۴-سؤالِ-برعکس-ریشهٔ-دوم\">۴. سؤالِ برعکس: ریشهٔ دوم\u003Ca class=\"head-anchor\" href=\"#%DB%B4-%D8%B3%D8%A4%D8%A7%D9%84%D9%90-%D8%A8%D8%B1%D8%B9%DA%A9%D8%B3-%D8%B1%DB%8C%D8%B4%D9%87%D9%94-%D8%AF%D9%88%D9%85\" aria-label=\"پیوند به این بخش\">#\u003C\u002Fa>\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>۹ کاشیِ مربعیِ هم‌اندازه داری و می‌خواهی با همه‌شان یک مربع بچینی، بی‌آنکه کاشی‌ای اضافه بیاید.\u003C\u002Fp>\n\u003Cblockquote>\n\u003Cp>🤔 \u003Cstrong>اول حدس بزن:\u003C\u002Fstrong> ضلعِ آن مربع چند کاشی می‌شود؟ و اگر ۱۶ کاشی داشتی چطور؟\u003C\u002Fp>\n\u003C\u002Fblockquote>\n\u003Cp>مساحتِ مربع را از فصل ۴ می‌شناسی: ضلع ضربدر ضلع. ولی سؤالِ اینجا برعکس است — مساحت را داری و ضلع را می‌خواهی.\u003C\u002Fp>\n\u003Cdiv class=\"math-display\" dir=\"ltr\">\u003Cspan class=\"katex-display\">\u003Cspan class=\"katex\">\u003Cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\">\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:0.8641em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">\u003Cspan class=\"mord\">3\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"msupsub\">\u003Cspan class=\"vlist-t\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.8641em;\">\u003Cspan style=\"top:-3.113em;margin-right:0.05em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-sizing reset-size6 size3 mtight\">\u003Cspan class=\"mord mtight\">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mrel\">=\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:1.04em;vertical-align:-0.0839em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">9\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:2em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord sqrt\">\u003Cspan class=\"vlist-t vlist-t2\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.9561em;\">\u003Cspan class=\"svg-align\" style=\"top:-3em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\" style=\"padding-left:0.833em;\">\u003Cspan class=\"mord\">9\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"top:-2.9161em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"hide-tail\" style=\"min-width:0.853em;height:1.08em;\">\u003Csvg xmlns=\"http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002F2000\u002Fsvg\" width=\"400em\" height=\"1.08em\" viewBox=\"0 0 400000 1080\" preserveAspectRatio=\"xMinYMin slice\">\u003Cpath d=\"M95,702\nc-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14\nc0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54\nc44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10\ns173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429\nc69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221\nl0 -0\nc5.3,-9.3,12,-14,20,-14\nH400000v40H845.2724\ns-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7\nc-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z\nM834 80h400000v40h-400000z\"\u002F>\u003C\u002Fsvg>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"vlist-s\">​\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.0839em;\">\u003Cspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mrel\">=\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2778em;\">\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:0.6444em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\">3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\n\u003Cp>به این عملِ برعکس می‌گویند \u003Cstrong>ریشهٔ دوم\u003C\u002Fstrong> و با نمادِ رادیکال نشانش می‌دهند. \u003Cspan class=\"math-inline\" dir=\"ltr\">\u003Cspan class=\"katex\">\u003Cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\">\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:1.04em;vertical-align:-0.1328em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord sqrt\">\u003Cspan class=\"vlist-t vlist-t2\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.9072em;\">\u003Cspan class=\"svg-align\" style=\"top:-3em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\" style=\"padding-left:0.833em;\">\u003Cspan class=\"mord\">9\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"top:-2.8672em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"hide-tail\" style=\"min-width:0.853em;height:1.08em;\">\u003Csvg xmlns=\"http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002F2000\u002Fsvg\" width=\"400em\" height=\"1.08em\" viewBox=\"0 0 400000 1080\" preserveAspectRatio=\"xMinYMin slice\">\u003Cpath d=\"M95,702\nc-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14\nc0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54\nc44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10\ns173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429\nc69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221\nl0 -0\nc5.3,-9.3,12,-14,20,-14\nH400000v40H845.2724\ns-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7\nc-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z\nM834 80h400000v40h-400000z\"\u002F>\u003C\u002Fsvg>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"vlist-s\">​\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1328em;\">\u003Cspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> یعنی «چه عددی در خودش ضرب شود که ۹ بدهد؟»\u003C\u002Fp>\n\u003Cblockquote>\n\u003Cp>🌱 \u003Cstrong>ریشه‌اش کجاست:\u003C\u002Fstrong> نامِ این دوره از همین نماد آمده. \u003Ccode>√\u003C\u002Fcode> معمولاً اولین علامتی است که ریاضی را ترسناک نشان می‌دهد، در حالی که پشتش یک سؤالِ ملموس ایستاده: مساحت را داری، ضلع را می‌خواهی. در ترم ۵ فاصلهٔ بینِ دو نقطه از دلِ همین ضلع بیرون می‌آید.\u003C\u002Fp>\n\u003C\u002Fblockquote>\n\u003Cblockquote>\n\u003Cp>⚠️ \u003Cstrong>دامِ رایج:\u003C\u002Fstrong> ریشهٔ دومِ ۹ را با نصفِ ۹ اشتباه گرفتن. نصف‌کردن یعنی دو تکهٔ برابر که با هم \u003Cstrong>جمع\u003C\u002Fstrong> شوند و ۹ بدهند؛ ریشهٔ دوم یعنی دو عددِ برابر که در هم \u003Cstrong>ضرب\u003C\u002Fstrong> شوند و ۹ بدهند. این دو سؤالِ متفاوت‌اند و دو جواب دارند.\u003C\u002Fp>\n\u003C\u002Fblockquote>\n\u003Cblockquote>\n\u003Cp>✅ \u003Cstrong>چک کن:\u003C\u002Fstrong> \u003Cspan class=\"math-inline\" dir=\"ltr\">\u003Cspan class=\"katex\">\u003Cspan class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\">\u003Cspan class=\"katex-base\">\u003Cspan class=\"katex-strut\" style=\"height:1.04em;vertical-align:-0.1328em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord sqrt\">\u003Cspan class=\"vlist-t vlist-t2\">\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.9072em;\">\u003Cspan class=\"svg-align\" style=\"top:-3em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"mord\" style=\"padding-left:0.833em;\">\u003Cspan class=\"mord\">25\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"top:-2.8672em;\">\u003Cspan class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\">\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"hide-tail\" style=\"min-width:0.853em;height:1.08em;\">\u003Csvg xmlns=\"http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002F2000\u002Fsvg\" width=\"400em\" height=\"1.08em\" viewBox=\"0 0 400000 1080\" preserveAspectRatio=\"xMinYMin slice\">\u003Cpath d=\"M95,702\nc-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14\nc0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54\nc44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10\ns173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429\nc69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221\nl0 -0\nc5.3,-9.3,12,-14,20,-14\nH400000v40H845.2724\ns-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7\nc-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z\nM834 80h400000v40h-400000z\"\u002F>\u003C\u002Fsvg>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"vlist-s\">​\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003Cspan class=\"vlist-r\">\u003Cspan class=\"vlist\" style=\"height:0.1328em;\">\u003Cspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> چند است؟ — ۵. و اگر ۱۰ کاشی داشتی؟ ضلع جایی بینِ ۳ و ۴ می‌ماند؛ چنین عددی روی محور جا دارد، ولی نوشتنش ابزارِ ترم ۲ را می‌خواهد.\u003C\u002Fp>\n\u003C\u002Fblockquote>\n\u003Cblockquote>\n\u003Cp>💡 \u003Cstrong>نکته:\u003C\u002Fstrong> توان در ترتیبِ فصل ۷ یک پله بالاتر از ضرب می‌نشیند: در $2 \\times 3^2$ اول $3^2$ خوانده می‌شود و بعد ضرب، یعنی ۱۸. باز هم قرارداد، نه قانون.\u003C\u002Fp>\n\u003C\u002Fblockquote>\n",{"kind":40,"heading":41,"html":42,"embed":43},"lab","","— تعدادی کاشی می‌گیری و باید با همه‌شان یک مربع بچینی. اول ضلع را حدس بزن، بعد بچین. بعضی عددها مربع نمی‌شوند؛ آن‌ها را جدا کن و بنویس چه وجهِ مشترکی دارند","\u002Flab\u002Fembed\u002Frisheh\u002Fterm-1-numbers\u002Fsession-08-powers",{"kind":45,"heading":46,"html":47},"checkpoint","تمرین‌ها","\u003Ch2 id=\"تمرین‌ها\">تمرین‌ها\u003Ca class=\"head-anchor\" href=\"#%D8%AA%D9%85%D8%B1%DB%8C%D9%86%E2%80%8C%D9%87%D8%A7\" aria-label=\"پیوند به این بخش\">#\u003C\u002Fa>\u003C\u002Fh2>\n\u003Col>\n\u003Cli>کدام بزرگ‌تر است، $2^5$ یا $5^2$، و چقدر؟\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>حاصلِ $10^0 + 10^1 + 10^2$ چند می‌شود؟ بعد بگو این عدد از روی ستون‌های فصل ۲ چطور خوانده می‌شود.\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>عبارتِ $12 - 3 \\times 2$ را حساب کن، بعد بگو با کدام پرانتز جوابش ۱۸ می‌شود.\u003C\u002Fli>\n\u003C\u002Fol>\n\u003Cp>⭐ اول حدس بزن کدام بزرگ‌تر است: $2^{10}$ یا $10^3$. بعد هر دو را حساب کن و ببین چقدر به هم نزدیک‌اند. این نزدیکی به کارت می‌آید — در فصل بعد می‌بینی کجا.\u003C\u002Fp>\n",{"kind":21,"heading":49,"html":50},"در فصل بعد","\u003Ch2 id=\"در-فصل-بعد\">در فصل بعد\u003Ca class=\"head-anchor\" href=\"#%D8%AF%D8%B1-%D9%81%D8%B5%D9%84-%D8%A8%D8%B9%D8%AF\" aria-label=\"پیوند به این بخش\">#\u003C\u002Fa>\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>فصلِ آخرِ ترم مفهومِ تازه‌ای ندارد؛ هشت فصلِ قبل را می‌گذارد سرِ یک کارِ واقعی. ادعایی می‌شنوی — مثلاً اینکه قلبِ آدم روزی حدودِ صد هزار بار می‌زند — و به‌جای باور یا ردِ آن، خودت با کاغذ و مداد وارسی‌اش می‌کنی. عادتی که از فصل ۱ در هر بلوکِ 🤔 تمرین کرده‌ای، آنجا موضوعِ درس می‌شود.\u003C\u002Fp>\n",{"course":52,"entitled":57,"lessons":60,"live":57},{"slug":53,"title_fa":54,"summary_fa":55,"field_slug":56,"free":57,"price_toman":58,"effective_price_toman":58,"active_window":59,"lesson_count":17},"risheh","ریشه — خودآموز ریاضی از چهار عمل تا هوش مصنوعی","هیچ ایدهٔ پیشرفته‌ای در ریاضی از هوا نیامده؛ هر کدام ریشه‌ای در چیزی ساده دارد که همین حالا بلدی. از «عدد یعنی چه» شروع می‌کنیم و به همان ریاضی‌ای می‌رسیم که هوش مصنوعی با آن آموزش می‌بیند — بدون حفظ‌کردنِ بی‌دلیل و بدون فرضِ اینکه قبلاً چیزی بلد بوده‌ای.","math",false,1500000,null,[61,64,68,72,76,80,11,4,15],{"slug":62,"term":6,"order":6,"title_fa":63,"free_preview":9,"source":10},"t1-s01-what-is-number","فصل ۰۱ — عدد یعنی چه؟",{"slug":65,"term":6,"order":66,"title_fa":67,"free_preview":9,"source":10},"t1-s02-place-value",2,"فصل ۰۲ — چرا ۱۰؟ ارزشِ مکانی",{"slug":69,"term":6,"order":70,"title_fa":71,"free_preview":9,"source":10},"t1-s03-add-subtract",3,"فصل ۰۳ — جمع و تفریق: دو روی یک سکه",{"slug":73,"term":6,"order":74,"title_fa":75,"free_preview":9,"source":10},"t1-s04-multiply",4,"فصل ۰۴ — ضرب یعنی چند بار",{"slug":77,"term":6,"order":78,"title_fa":79,"free_preview":9,"source":10},"t1-s05-divide",5,"فصل ۰۵ — تقسیم: دو سؤالِ کاملاً متفاوت",{"slug":81,"term":6,"order":82,"title_fa":83,"free_preview":9,"source":10},"t1-s06-negatives",6,"فصل ۰۶ — آن‌سوی صفر",1785074640757]